Integral $\int\frac{lnx}{x^2}dx$, partes

Integral que resulta del producto de una función logarítmica por una algebraica y se resuelve por partes.

Llamamos \(u=lnx\) y \(dv=\frac{1}{x^2}dx\).  

Diferenciamos \(u\) e integramos \(dv\): \(du=\frac{1}{x}dx\); \(v=\frac{-1}{x}\).

Aplicando la fórmula de integración por partes: \(\int udv=uv-\int vdu\), resulta:

$\int \frac{lnx}{x^2}=lnx\cdot \frac{-1}{x}-\int\frac{-1}{x}\frac{1}{x}dx=-\frac{1}{x}lnx-\frac{1}{x}+C$

Integral $\int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}dx$, cambio variable

Se trata de una integral que podemos transformar en inmediata mediante el cambio de varible \( t=x^2+2x+3\).  Diferenciamos: \(dt=(2x+2)dx\).  Despejamos:  \(dx=\frac{dt}{2x+2}\).

Ahora pasamos a realizar el cambio de variable:

$\int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}dx=\int\frac{x+1}{\sqrt{t}}\frac{dt}{2x+2}dx=\frac{1}{2}\int t^{-1/2}dt=\sqrt{t}=\sqrt{x^2+2x+3}+C$

Integral $\int \frac{x}{1+x}dx$

Vamos a resolver la integral $\int \frac{x}{1+x}dx$ por dos métodos: transformándola en inmediata de tipo logaritmo neperiano y por cambio de variable.

Transformamos el integrando para obtener una integral de tipo logaritmo neperiano.

$\int \frac{x}{x+1}dx=\int\frac{x+1-1}{x+1}dx=\int\left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)dx=$

Aplicamos la propiedad de linealidad y separamos la integral en suma de dos integrales:

$=\int dx -\int\frac{1}{x+1}dx=x-ln|x+1|+C$

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