Integral $\int\frac{lnx}{x^2}dx$, partes

Integral que resulta del producto de una función logarítmica por una algebraica y se resuelve por partes.

Llamamos \(u=lnx\) y \(dv=\frac{1}{x^2}dx\).  

Diferenciamos \(u\) e integramos \(dv\): \(du=\frac{1}{x}dx\); \(v=\frac{-1}{x}\).

Aplicando la fórmula de integración por partes: \(\int udv=uv-\int vdu\), resulta:

$\int \frac{lnx}{x^2}=lnx\cdot \frac{-1}{x}-\int\frac{-1}{x}\frac{1}{x}dx=-\frac{1}{x}lnx-\frac{1}{x}+C$

Integral $\int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}dx$, cambio variable

Se trata de una integral que podemos transformar en inmediata mediante el cambio de varible \( t=x^2+2x+3\).  Diferenciamos: \(dt=(2x+2)dx\).  Despejamos:  \(dx=\frac{dt}{2x+2}\).

Ahora pasamos a realizar el cambio de variable:

$\int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}dx=\int\frac{x+1}{\sqrt{t}}\frac{dt}{2x+2}dx=\frac{1}{2}\int t^{-1/2}dt=\sqrt{t}=\sqrt{x^2+2x+3}+C$

Integral $\int \frac{x}{1+x}dx$

Vamos a resolver la integral $\int \frac{x}{1+x}dx$ por dos métodos: transformándola en inmediata de tipo logaritmo neperiano y por cambio de variable.

Transformamos el integrando para obtener una integral de tipo logaritmo neperiano.

$\int \frac{x}{x+1}dx=\int\frac{x+1-1}{x+1}dx=\int\left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)dx=$

Aplicamos la propiedad de linealidad y separamos la integral en suma de dos integrales:

$=\int dx -\int\frac{1}{x+1}dx=x-ln|x+1|+C$

Los cuatro artículos de Einstein.

En el año 1905, un joven físico de tan sólo 26 años, publicó 4 artículos en la revista Annalen der Physik, que revolucionaron la ciencia y nos llevaron al grado de desarrollo tecnológico del que disfrutamos hoy día.

En el primer artículo explicaba un fenómeno para el que los físicos no habían encontrado solución, llamado efecto fotoeléctrico, que consistía en la emisión de electrones por parte de un metal al ser iluminado por una radiación de determinada frecuencia. La explicación propuesta por nuestro joven científico consistió en considerar la luz formada por pequeñas partículas, posteriormente llamadas fotones, que incidían sobre el metal arrancando sus electrones y dando lugar a un flujo de corriente eléctrica. Dejando a un lado las innumerables aplicaciones de este fenómeno físico, las ideas puestas en juego para explicarlo representan el pistoletazo de salida de una de las teorías más influyentes de la ciencia actual, la mecánica cuántica.

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